柯西不等式，严谨的数学名词，作为初中和高中数学一部分，让人们想起无穷级数的收敛性，Cauchy洛朗展开法，而事实上它有广泛的实际应用。
首先，柯西不等式原本是为了揭示向量空间中的内积与范数之间的关系。数值分析中，向量范数的估计值可以通过矩阵的行向量及列向量的算术平均值来估计。
其次，应用于概率论中，柯西不等式可以用于证明非零元素的两个的实数列，在乘法下不成比例。于是就有了$p$-数不等式，这是概率论中一个著名的结果，比如Markov，Chebyshev，Holder不等式都是基于它而产生的。
另外，它的几何意义是勾股定理的推广。当使用二次型分析正定性时，柯西不等式也是不可或缺的部分。当然，你还可以用柯西不等式自己来证明它本身。
在现实工程中的应用也很广，例如，压缩颜色图像，使用小波分析得到压缩图像的系数矩阵。然后，对矩阵进行量化和编码。量化本质上是一个数字化预处理过程，因此其结果对于编码算法是非常重要的。柯西不等式可以解释为量化的期望失真问题。
如上所述，柯西不等式不止是一个单纯的数学概念，它的应用可以渗透到各个领域之中。
